Đưa về dạng hàng bậc thang

Một cách tiếp cận thông dụng để tìm hạng của một ma trận là đưa nó về một dạng đơn giản hơn, thường là dạng hàng bậc thang rút gọn, bằng các phép biến đổi hàng sơ cấp. Các phép biến đổi hàng không làm thay đổi không gian hàng (vì thế không làm thay đổi hạng hàng), và bởi tính khả nghịch, chúng ánh xạ không gian cột tới một không gian đẳng cấu (vì thế cũng không làm thay đổi hạng cột). Một khi đã đưa về dạng bậc thang rút gọn, hạng của cột và hàng rõ ràng là như nhau, và bằng số phần tử chính (pivot) hay số cột chính, cũng là số hàng khác zero.

Ví dụ, ma trận A được cho bởi

A = [ 1 2 1 − 2 − 3 1 3 5 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}

có thể được đưa về dạng hàng bậc thang rút gọn bằng dãy các phép biến đổi sơ cấp trên hàng sau:

[ 1 2 1 − 2 − 3 1 3 5 0 ] → 2 h 1 + h 2 → h 2 [ 1 2 1 0 1 3 3 5 0 ] → − 3 h 1 + h 3 → h 3 [ 1 2 1 0 1 3 0 − 1 − 3 ] → h 2 + h 3 → h 3 [ 1 2 1 0 1 3 0 0 0 ] → − 2 h 2 + h 1 → h 1 [ 1 0 − 5 0 1 3 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {2h_{1}+h_{2}\rightarrow h_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3h_{1}+h_{3}\rightarrow h_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\xrightarrow {h_{2}+h_{3}\rightarrow h_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2h_{2}+h_{1}\rightarrow h_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}} .

Ma trận cuối cùng đã được đưa về dạng hàng bậc thang rút gọn có hai hàng khác zero và vì vậy rank của ma trận A là 2.

Tính toán

Khi áp dụng cho các tính toán với dấu phẩy động trên máy tính trong thời gian thực, sử dụng phương pháp khử Gauss (phân tích LU) có thể không hiệu quả, và thay vào đó nên sử dụng một thuật toán phân tích tìm hạng. Một phương pháp thay thế hiệu quả là phép phân tích giá trị suy biến (Singular value decomposition hay SVD) , nhưng cũng có các cách ít tốn kém hơn, như phân tích QR có chọn phần tử chính (vì thế được gọi là phân tích tìm hạng QR), vẫn mạnh hơn về mặt tính toán số học so với phép khử Gauss. Việc xác định hạng bằng số yêu cầu một tiêu chí để quyết định khi nào một giá trị (chẳng hạn như một giá trị suy biến từ SVD) thì nên được coi là bằng 0, một lựa chọn thực tế phụ thuộc vào cả ma trận và mục đích ứng dụng.